CHIC@S: dejo acá colgado un vídeo del paso a paso de la construcción del espiral de Fibonacci que hicimos en la propuesta Nº1, es simplemente ilustrativo de lo que hicimos en clase, sobre todo para quienes no les quedo claro, faltaron ó están atrasados.
Saludos y buenas vacaciones

Fractal

En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este brécol romanesco.

https://www.youtube.com/watch?v=3a6t2xSg4CI

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.¹​ El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

• Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

• Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D. Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

• Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación limitada por difusión.

Modelado de formas naturales[editar]

Fracción de un fractal Mandelbrot.

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Fractales

La secuencia de Fibonacci

Fibonacci es el nombre de un matemático Italiano que en el año 1202 introdujo en Europa una secuencia de números muy especial, que ya se conocía en la India desde siglos antes.

La regla de esta secuencia es simple:

https://www.youtube.com/watch?v=6bQzypK1ZNg

Empezando por 0 y 1, cada siguiente número es la suma de los dos anteriores:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... y así hasta el infinito

Es una serie de números muy sencilla, pero muy utilizada por la Naturaleza.
Por ejemplo: casi siempre el número de pétalos de una flor son un número de esta serie y por la misma razón tenemos cinco dedos en las manos y los pies. Además de plantas y animales, se encuentra también en las grandes estructuras geológicas y astronómicas (quizás no en los propios números, sino por la espiral que deriva de ellos).
A pesar de (o tal vez gracias a) la sencillez de esta secuencia matemática, es una regla fundamental de todo lo que existe y puede llegar a describir fenómenos muy complejos.

La Proporción Áurea

Directamente relacionado a la serie de Fibonacci está la Proproción Áurea.
Hay muchas formas para definir esta proporción, pero tal vez la más facil sea la de la división (áurea) de una línea:

Dicho en palabras:

la relación entre la línea completa (a+b)
y la parte más larga de la división (a)
es igual a
la relación entre la parte larga (a)
y la parte corta (b)

esta relación es 1,618034.... 

Como es un número interminable para escribir, también se usa el signo phi: ϕ 

Este número ϕ está un poco escondido en la serie de Fibonacci. Se revela al dividir cualquier número de la serie entre el número anterior:
5/3= 1,6666.....
8/5= 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1.6153...
34/13= 1,6190...
55/34= 1,6176...

Como se puede observar, cuanto más alto los números consecutivos de la serie de Fibonacci, más se acerca el resultado a ese número  ϕ 

Rectángulos

La forma más fácil de "mostrar" lo especial de la Proporción Aurea se encuentra sencillamente en un rectángulo. Se considera que un rectángulo con estas proporciones es la más hermosa a la vista y se ha usado muchísimo en el arte y la arquitectura a lo largo de la historia en todas las culturas. Hoy día se usa entre otros para las tarjetas de crédito.

 

Más curioso todavía se hace con dos de estos rectángulos.
Sólo con la proporción phi: ϕ, se puede tener un rectángulo horizontal y otro vertical al lado, donde una diagonal cruza las tres esquinas. Esto se puede comprobar facilmente, con dos tarjetas de crédito (o del tipo que sea) y una regla.